Conny est surtout connu pour sa lutte homérique avec Ricardo Patrese pour le titre de champion d'Europe de F3 en 1976. Ils finissent en effet la saison avec le même nombre de points mais Ricardo est finalement sacré au décompte des troisièmes places !
Dans le même temps, Conny a la possibilité de débuter dans la formule reine sur une Surtees à l'occasion du Grand Prix des Pays-Bas. Il est vingt-sixième est dernier sur la grille de départ et abandonne dans le dixième tour, moteur cassé.

L'année suivante il est appelé par l'équipe officielle BRM. Malheureusement, celle-ci est au bord du gouffre et n'est pas capable de fournir au jeune pilote suédois une voiture capable de se qualifier. Préférant arrêter les frais après le Grand Prix de France, Conny remet tout ses espoirs sur 1978. Le seul volant qu'on lui propose cette année là est celui de la seconde Merzario. Après quelques essais, Conny se rend compte que la voiture ne lui permettra guère de pouvoir s'exprimer. Il préfère alors jeter le gant et disparaître définitivement de la F1.