Heinz Schiller était champion de speed boat avant de se reconvertir dans la course de voitures. Il court en 1500 cm3 avec une Porsche. Il remporte quelques courses vers le milieu des années 50 et finit deuxième de sa catégorie en 1957 aux Mille Miglia.

Début 1958, il court en Formule 2. Il termine notamment sixième lors du Grand Prix de Pau, sur sa Porsche RS.

En 1961, Heinz participe à des courses de côte avec sa Porsche Carrera. En 1962, on le retrouve en Formule 1, d'abord chez Porsche pour le Grand Prix de Belgique, mais il déclare forfait. Puis il est engagé dans l'écurie Filipinetti, sur une Lotus 21, pour participer au Grand Prix d'Allemagne. Parti depuis la vingtième place sur la grille, il abandonne lors du cinquième tour.

Sa dernière course en monoplace pour Porsche a lieu à Pau en 1963. Il court alors sur une voiture quasi obsolète et finit troisième, mais cinq tours derrière les Lotus de Clark et Taylor. Heinz continue alors à courir avec les voitures de l'écurie Filipinetti en GT, et décroche la deuxième place dans sa catégorie aux 1 000 kilomètres du Nürburgring, ainsi que la victoire toujours dans sa catégorie, lors de la course de côte à Ollon-Villars, dans une Porsche Carrera Abarth.

En 1964, il participe à des courses de longues distances avec Jo Siffert sur une Porsche 904. Il participe au Mans avec Gerhard Koch et termine dixième au classement général et troisième dans sa catégorie.