Alan Brown était apprenti mécanicien au début de la Seconde Guerre mondiale, en 1939.
Après la fin du conflit, Alan retourne travailler pour ses employeurs d'avant-guerre et achète une Cooper de Formule 3 en 1950. Il remporte le Grand Prix de F3 du Luxembourg en 1951 sur le circuit de Findel, qui est alors l'épreuve la plus prestigieuse de la catégorie.
Il fait ensuite ses débuts aux championnats du monde de Formule 1 lors du Grand Prix de Suisse 1952 au volant d'une Cooper T20. Après s'être élancé de la quinzième place, il se classe cinquième, marquant ainsi deux points pour son premier Grand Prix. Il se classe ensuite sixième en Belgique, mais ne parvient pas à rééditer ces bons résultats lors des Grands Prix de Grande-Bretagne et d'Italie.
En 1953, il est au volant d'une Cooper d'usine lors du Grand Prix d'Argentine. Il se classe neuvième, mais, durant la course, il percute mortellement un jeune spectateur en raison de l'immense foule qui entoure la piste. Durant cette course, Giuseppe Farina sort de la piste, tuant neuf spectateurs.
Il devient ensuite pilote d'essai de la nouvelle Vanwall en 1954, tout en continuant à courir avec une Cooper-Bristol dans les courses britanniques, avant de passer à une Connaught en 1955 et à une Jaguar D-type en 1956.
Alicia