Richard Robarts fait ses débuts en sport automobile dans le championnat de Formule Ford, où il court entre 1969 et 1972, se forgeant ainsi une solide réputation de pilote rapide et combatif. Ces années lui permettent d'accumuler de l'expérience sur les circuits britanniques.

Sa progression le mène naturellement à la Formule 3, une étape décisive dans la carrière des jeunes pilotes anglais. En 1973, il se distingue par sa constance et sa vitesse, et partage le titre national avec Tony Brise à l'issue d'une saison très disputée.

En 1974, il parvient à réunir un budget pour obtenir un volant en Formule 1 chez Brabham. Il dispute les trois premiers Grands Prix de la saison : en Argentine, il abandonne ; au Brésil, il se classe quinzième ; et en Afrique du Sud, il se classe dix-septième, terminant la course à plusieurs tours du vainqueur et de son coéquipier Carlos Reutemann. Cette expérience en Formule 1, rendue possible par un financement personnel, ne lui permet pas de continuer et il doit céder sa place à Rikky von Opel. Il tente ensuite de poursuivre en Formule 1 avec Williams à l'occasion du Grand Prix de Suède, mais l'écurie lui préfère finalement Tom Belsø.

Après 1974, il ne parvient pas à retrouver un volant permanent en Formule 1 et se tourne vers d'autres disciplines. Dès 1976, il se lance en Formule 2. Il dispute plusieurs courses avec différentes petites écuries, principalement en Grande-Bretagne, mais ne parvient pas à se hisser parmi les prétendants réguliers à la victoire.

Outre la Formule 2, Robarts participe également à diverses séries de voitures de sport et de monoplaces, notamment le championnat britannique Shellsport Group 8 qui rassemble des véhicules de différents niveaux. Au fil des saisons, il fait de rares apparitions dans des compétitions majeures et continue de courir ponctuellement dans des épreuves locales ou dans le cadre du sport automobile britannique.