Après avoir obtenu un diplôme d'ingénieur en 1942, Leslie Marr devient technicien dans la Royal Air Force durant la seconde guerre mondiale. A la fin de la guerre, il s'intéresse à la peinture et deviendra un artiste peintre reconnu.

Dans le même temps, il participe à des courses nationales principalement pour Connaught, puis il connait le succès dans des événements divers en 1954, comme le Glover Trophy, où il termine troisième.

Il arrive en Formule 1, la même année, pour participer au Grand Prix de Grande Bretagne, à Aintree où il rejoint l'arrivée en treizième position avec huit tours de retard.

En 1955, Leslie est au volant du modèle B de la Connaught pour le Grand Prix de Grande Bretagne, à Silverstone. Il abandonne sur panne de freins.

Il continue de courir dans d'autres catégories, il termine notamment à la troisième place du Lady Wigram Trophy, à Christchurch en Nouvelle-Zélande avant de se consacrer pleinement à la peinture.