La carrière de Don Branson s'est principalement déroulée dans les courses de sprint cars et de championnats nationaux aux États-Unis.

Don commence sa carrière de pilote dans les années 1940, participant d'abord à des courses locales sur dirt tracks. Dans les années 1950, il devient l'un des pilotes les plus redoutables dans les courses de sprint cars. Il remporte de nombreuses victoires et se bâtit une solide réputation sur les pistes courtes à travers le pays. Sa maîtrise des voitures à moteur avant sur les pistes en terre était particulièrement reconnue.

Il a fait ses débuts dans le championnat national de l'USAC (United States Auto Club) en 1956. Il a rapidement fait preuve de sa compétitivité à ce niveau, en obtenant plusieurs victoires au fil des ans. Sa polyvalence lui permettait d'être performant aussi bien sur les pistes en terre que sur les circuits pavés.

En 1959, il remporte le championnat national de sprint cars de l'USAC, consacrant sa domination dans cette discipline. Il a également terminé à plusieurs reprises dans le top 5 du championnat national de l'USAC, démontrant ainsi sa constance au plus haut niveau du sport automobile américain.

L'un des points forts de sa carrière a été sa participation aux 500 miles d'Indianapolis. Il a pris le départ de cette course prestigieuse à neuf reprises entre 1959 et 1966. Son meilleur résultat à l'Indy 500 est une quatrième place en 1960.

Malheureusement, sa carrière est brutalement interrompue par un accident fatal lors d'une course de sprint cars à Ascot Park en 1966.