Christophe Bouchut commence sa carrière par le karting. A 16 ans, il est champion de France en classe Bleue, puis, cinq ans plus tard, en 1987, il remporte le titre en Élite.

Après avoir remporté le Volant Elkron sur le circuit de Montlhéry, il participe au championnat de France de Formule Ford en 1989. Suite à sa deuxième place au championnat en 1988, il accède à la Formule 3. Après deux saisons d'apprentissage, il remporte le titre de champion de France en 1991 avec l'écurie Graff Racing.

L'année suivante, il devient champion de France en Formule Peugeot 905 Spider. En 1993, Peugeot l'engage dans le championnat de France de Supertourisme avec une 405. Il est également sélectionné pour les 24 Heures du Mans, qu'il remporte dès sa première participation sur une 905 Evo 1B aux côtés de Geoff Brabham et Éric Hélary. En 1994, il devient champion de France de la Porsche Carrera Cup.

En 1995, il signe un contrat avec l'écurie Larrousse pour participer à la saison de Formule 1. Cependant, l'écurie est en grande difficulté financière. Après avoir fait l'impasse sur les deux premiers Grands Prix de la saison, Gérard Larrousse met la clé sous la porte. Christophe trouve néanmoins un volant en F3000. Son meilleur résultat est une deuxième place sur le circuit de Spa-Francorchamps. En endurance, il remporte les 24 Heures de Daytona au volant d'une Kremer K8.

Il se concentre alors sur les courses d'endurance et de GT. En 2000, il remporte le championnat FIA GT en N-GT avec une Porsche 911 GT3. Les deux années suivantes, il remporte la catégorie GT au volant d'une Chrysler Viper. En 2008, il est champion de France de GT avec une Saleen S7. En 2011 et 2012, il remporte le championnat American Le Mans Series dans la catégorie LMP2.