Christophe Bouchut commence sa carrière par le karting. A 16 ans, il est champion de France en Classe Bleue et cinq ans plus tard, en 1987, il remporte le titre en Elite.

Après avoir remporté le Volant Elkron sur le circuit de Monthléry, il participe au Championnat de France de Formule Ford en 1989. Suite à sa deuxième place au championnat en 1988, il accède à la Formule 3. Après deux saisons d'apprentissage, il remporte le titre de champion de France en 1991 avec le Graff Racing.

L'année suivante, il est champion de France en Formule Peugeot 905 Spider. En 1993, il est engagé par Peugeot dans le championnat de France de Supertourisme avec une 405. Il est également retenu pour les 24 Heures du Mans qu'il va remporter dès sa première participation sur une 905 Evo 1B avec Geoff Brabham et Éric Hélary. En 1994, il est Champion de France en Porsche Carrera Cup.

En 1995, il signe un contrat avec l'écurie Larrousse pour participer à la saison 1995 de Formule 1. Cependant, l'écurie est en grande difficulté financière. Après avoir fait l'impasse sur les deux premiers Grands Prix de la saison, Gérard Larrousse décide de mettre la clef sous la porte. Christophe trouve néanmoins un volant en F3000. Son meilleur résultat est une deuxième place sur le circuit de Spa-Francorchamps. En Endurance, il remporte les 24 Heures de Daytona au volant d'une Kremer K8.

Christophe va alors se concentrer sur les courses d'endurance et de GT. En 2000, il remporte le championnat FIA GT en N-GT avec une Porsche 911 GT3. Les deux années suivantes, il gagne la catégorie GT au volant d'une Chrysler Viper. En 2008, il est champion de France en GT avec une Saleen S7. En 2011 et 2012, il remporte le championnat American Le Mans Series en LMP2.