La famille Unser fait partie des plus grandes familles de pilotes américains. Bobby est l'un des meilleurs pilotes de cette famille, avec son frère Al.

Il commence la course automobile en 1957 en disputant les 12 Heures de Sebring sur une Jaguar Type-D. Il participe à ses premiers 500 Miles d'Indianapolis en 1963, soit quatre ans après la mort de son frère Jerry lors d'essais. Qualifié en seizième position, il est victime d'un accident après seulement deux tours et sa course se termine très vite. En 1964, il doit abandonner à la suite d'un carambolage tragique au deuxième tour de l'épreuve : deux pilotes, Eddie Sachs et Dave MacDonald, perdent la vie. La saison suivante, c'est la Ferguson de Bobby qui lui fait défaut : une fuite d'huile l'oblige à quitter la course prématurément.

A partir de 1966, Bobby commence à connaître le succès : il termine la course à Indianapolis pour la première fois, puis remporte sa première course du championnat USAC, une course de côte à Pike's Peak, avec sa propre voiture. L'année suivante, il se classe neuvième à Indianapolis, mais remporte les deux épreuves de Mosport Park avec une Eagle. La saison 1968 sera enfin la bonne. Il remporte trois courses, puis lors des 500 miles d'Indianapolis, où il est qualifié en troisième position sur la grille de départ, il prend la tête à partir du huitième tour pour finalement terminer la course en vainqueur. Il remporte une autre course, celle de Pikes Peak, puis, après un magnifique duel avec son frère Al, Bobby Unser devient champion de l'USAC.

La même année, il s'engage en Formule 1 avec l'écurie BRM. Il participe au Grand Prix d'Italie et réalise un chrono avant d'annoncer qu'il s'envolera, avec Mario Andretti, vers les Etats-Unis pour participer à une course dans l'Indiana, puis reviendra pour disputer le Grand Prix. Mais à leur retour, les deux pilotes américains sont exclus pour avoir participé à une autre épreuve dans les 24 heures précédant le départ du Grand Prix. Inscrit au Grand Prix du Canada, il préfère de nouveau disputer une course du championnat USAC. Il dispute finalement son premier et unique Grand Prix à Watkins Glen, lors de la dernière manche du championnat. Qualifié en 19e et avant-dernière position, il abandonne à la suite d'un problème moteur.

En 1969, il connaît une moins bonne année : en championnat, il est souvent dépassé par son frère Al et par Mario Andretti. Il monte sur le podium à Indianapolis et remporte l'épreuve de Langhorne. En 1970, il ne remporte qu'une seule course, à Langhorne. En 1971, il remporte deux épreuves à Milwaukee et à Trenton, mais doit abandonner à Indianapolis à la suite d'un accident alors qu'il se trouvait dans le groupe de tête. En 1972, Bobby décroche la pole position à Indianapolis, puis mène trente tours avant d'être dépassé et d'abandonner. Il remporte cependant quatre victoires cette année-là. En 1973, il remporte la victoire à Milwaukee.

En 1974, lors des 500 Miles, Bobby Unser termine à une vingtaine de secondes de Johnny Rutherford et remporte quatre épreuves du championnat, décrochant ainsi un deuxième titre USAC, six ans après le premier. L'année suivante, il ne parvient pas à conserver sa couronne, mais il s'impose de nouveau à Indianapolis, dans une épreuve raccourcie de vingt-six tours. Il remporte également l'International Race of Champions avec deux victoires à Brooklyn et à Daytona. La saison suivante, Bobby triomphe lors de la première épreuve à Phoenix, puis à Ontario. Il connaît ensuite un passage à vide en 1977 et 1978, sans remporter la moindre victoire.

En 1979, il participe au nouveau championnat CART, qui remplace le USAC. Cette première saison est magnifique, puisqu'il remporte six victoires sur les quatorze épreuves de la saison. Il termine vice-champion de CART, derrière Rick Mears. En 1980, la situation se répète : Bobby remporte quatre victoires, mais échoue une nouvelle fois dans la conquête d'un nouveau titre, cette fois derrière Johnny Rutherford. En 1981, Bobby dispute sa dernière saison, au cours de laquelle il remporte pour la troisième fois l'Indy 500, après avoir décroché la pole position. Il dispute une dernière course en 1990, à Dijon, en voitures de sport.