Alexander est le fils de Nigel Albon, ancien pilote qui a participé au British Touring Car et à la Porsche Carrera Cup. Sa mère est originaire de Thaïlande.
Il commence le karting en 2005 à l'âge de 8 ans. En 2006, il termine premier au Kartmasters British Grand Prix et participe au championnat Super 1 National Honda Cadet, terminant premier en 2006 et deuxième en 2007. En 2008, il passe à la classe KF3 et termine premier du championnat Super 1 National KF3 en 2009 et remporte la coupe du mode CIK-FIA en 2010 ainsi que le championnat européen IK-FIA. En 2011, il passe en KF1 en se classant deuxième de la WSK Euro Series et deuxième du Championnat du monde CIK-FIA .
Alexander fait ses débuts en monoplace en 2012, en Eurocup Formula Renault avec le soutien de Red Bull. Son meilleur résultat n'est qu'une dix-septième place. Il participe également au championnat de Formula Renault 2.0 Alps. Son meilleur résultat est une sixième place à Imola et termine seizième du championnat avec vingt-six points. Ces résultats décevants lui font perdre le parrainage de Red Bull. L'année suivante il s'engage avec KTR sur deux championnats terminant seizième en Eurocup Formula Renault avec une pole position et vingt-deuxième en Formula Renault 2.0 NEC où il décroche un podium.
En 2014, toujours chez KTR, il termine l'Eurocup Formula Renault à la troisième place et remporte une victoire en Formula Renault 2.0 NEC.
Il rejoint le championnat d'Europe de Formule 3 en 2015 avec l'écurie Signature. Classé à la septième place du championnat, il signe deux pole positions et cinq podiums. Pour 2016, Alexander signe chez ART Grand Prix et termine deuxième du championnat GP3 Series avec quatre victoires, trois pole positions et sept podiums à son palmarès. A la veille de la dernière manche à Abou Dhabi, il était toujours en lice pour remporter le titre, mais il est victime d'un accrochage et c'est son équipier, Charles Leclerc qui est titré.
Toujours chez ART Grand Prix, Alexander passe en F2 l'année suivante et ne décroche que deux podiums terminant à la dixième place du championnat remporté par Charles Leclerc. En 2018 il s'engage avec DAMS et grâce à quatre victoires et huit podiums, il termine à la troisième place du championnat derrière George Russell et Lando Norris. Alexander s'engage alors en Formula E avec DAMS mais il casse ce contrat car il a été choisi par Helmut Marko pour remplacer Brendon Hartley en F1 chez Toro Rosso.
En terminant neuvième lors du Grand Prix de Bahreïn, il est le premier Thaïlandais à inscrire des points en Formule 1 depuis la quatrième place du Prince Bira au Grand Prix de France 1954. Grâce à ces bons résultats et suites au décevantes performances de Pierre Gasly au volant de la Red Bull, Helmut Marko décide d'échanger les baquets entre lui et le Français.
Pour les neufs Grand Prix restant, Alexander va en terminer huit dans le top six. Au Grand Prix du Brésil, le Thaïlandais part sixième et, alors qu'il est sur le point d'obtenir son premier podium, il est percuté par Hamilton et termine quatorzième. Il se classe, pour sa première saison en F1, à une encourageante huitième place et il est confirmé, sans surprise, chez Red Bull pour la saison 2020.
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