Leo Kinnunen commence sa carrière automobile en Finlande dans les années 1960, d'abord en rallye, en auto-cross et en course sur glace. Il se fait remarquer au niveau national, notamment en Formule 3, puis se tourne vers les épreuves sur circuit. En 1969, il remporte la Nordic Challenge Cup au volant d'une Porsche 908, devançant Jochen Rindt, qui deviendra par la suite champion du monde de Formule 1. Ce succès attire l'attention de John Wyer qui l'intègre à son équipe officielle Porsche pour la saison 1970 du championnat du monde des voitures de sport.
Dès sa première course avec la Porsche 917, il s'impose aux 24 Heures de Daytona aux côtés de Pedro Rodríguez et Brian Redman. Il remporte ensuite les 1 000 km de Brands Hatch et de Monza, puis les 6 Heures de Watkins Glen. Malgré ces victoires, il estime être relégué au second plan au sein de l'équipe, ce qui le pousse à rejoindre l'écurie finlandaise AAW Racing Team en 1971 pour disputer le championnat Interserie. Il y domine la compétition, décrochant trois titres consécutifs entre 1971 et 1973 au volant d'une Porsche 917. Parallèlement, il continue de courir en rallye. Il remporte le rallye Arctique en 1972 et termine troisième du rallye des 1 000 Lacs en 1973 sur une Porsche Carrera, devançant plusieurs spécialistes de la discipline.
En /1974, Leo devient le premier pilote finlandais à participer au championnat du monde de Formule 1. Il s'engage avec l'écurie AAW Racing Team et pilote une Surtees TS16. Il fait ses débuts au Grand Prix de Belgique, mais ne parvient pas à se qualifier. L'équipe fait l'impasse sur le Grand Prix de Monaco, puis revient au Grand Prix de Suède à Anderstorp. Il y réalise sa seule qualification de l'année, en 25^e position, mais abandonne au neuvième tour à la suite d'un problème électrique. Les quatre tentatives suivantes (France, Grande-Bretagne, Autriche et Italie) se soldent toutes par des non-qualifications. Malgré ces résultats modestes, il marque l'histoire en étant le dernier pilote à disputer un Grand Prix de Formule 1 avec un casque ouvert. Alors que tous les pilotes ont adopté le casque intégral pour des raisons de sécurité, Leo choisit de conserver le casque ouvert, invoquant des raisons de confort et une sensibilité au poids sur les cervicales.
Après son unique Grand Prix de Formule 1, il se tourne à nouveau vers la compétition en voitures de sport. Dès 1975, il reprend le volant dans le championnat Interserie, toujours avec des prototypes Porsche, notamment les 917/10 et 935. Il participe également à plusieurs épreuves du championnat du monde des voitures de sport. Parallèlement, il continue de briller en rallye. Il remporte une deuxième fois le rallye Arctique en 1979, sept ans après sa première victoire dans cette épreuve, confirmant ainsi sa polyvalence sur circuit et sur routes enneigées. Il effectue également quelques apparitions sporadiques dans des rallyes nationaux jusqu'au début des années 1980, sans s'engager à plein temps.
Il se retire progressivement de la compétition internationale. Il reste toutefois actif dans le milieu du sport automobile finlandais, notamment en tant que conseiller et figure respectée. Bien qu'il n'ait jamais retrouvé le niveau de visibilité qu'il avait atteint avec Porsche au début de la décennie, il jouit d'une forte notoriété en Finlande, où il est considéré comme un pionnier.
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