Jüri Vips commence sa carrière en karting, remportant notamment le titre mondial en Rotax Max Challenge Junior en 2014.

En 2016, il fait ses débuts en monoplace avec Prema Powerteam en Formule 4 allemande et italienne, décrochant le titre de champion des Rookies en Italie. En 2017, il devient champion de Formule 4 allemande avec Prema. En 2018, il rejoint Motopark en Formule 3 européenne et termine quatrième avec quatre victoires, ce qui lui vaut de rejoindre le Red Bull Junior Team. En 2019, il pilote en Formule 3 FIA avec Hitech Racing, finissant quatrième, puis participe en 2020 au championnat de Super Formula au Japon, perturbé par la pandémie, et à quatre manches de Formule 2 avec DAMS, où il obtient un podium.

En 2021, il signe avec Hitech Racing pour disputer le championnat Formule 2. Il remporte à Bakou la deuxième courses Sprint et la course principale et avec six podiums, termine sixième du championnat. En 2022, il dispute sa deuxième saison en Formule 2. Fin mai il participe à la première séance d'essai du Grand Prix d'Espagne au volant de la Red Bull de Sergio Perez. Fin juin, il est renvoyé du Red Bull Junior Team pour des propos racistes et homophobes sur Twitch. Jüri présente publiquement ses excuses début juillet et malgré la rupture de son contrat avec Red Bull, Hitech maintient son engagement pour le reste de la saison. Il remporte la course Sprint à Monza et termine le championnat à la 11e place.

En 2023, il remplace Jack Harvey chez Rahal Letterman pour les deux dernières courses du championnat Indycar qui se soldent par une 18e et une 24e place. Alors qu'il espérait être titulaire en 2024, le baquet est attribué à Pietro Fittipaldi. Il dispute néanmoins une manche du championnat 2024 à Portland qu'il termine à la 19e position.