Joe Kelly n'a jamais disposé d'un matériel de pointe en championnat du monde de Formule 1.

Il entre dans le monde de l'automobile en tant que vendeur de moteurs, jusqu'au jour où il fait la connaissance avec l'une des trois monoplaces de Geoffrey Taylor, une Alta GP. Sa première course importante à bord de cette monoplace est la première manche du championnat du monde de Formule 1, sur le circuit de Silverstone, en 1950. Cette voiture ne lui permet pas de réaliser une performance hors du commun : il termine la course, mais n'est pas classé, car il accuse treize tours de retard. Il dispute quelques courses locales hors championnat, terminant quatrième de l'Ulster Trophy, puis deuxième du Wakefield Trophy, derrière Duncan Hamilton. La saison suivante, il est de nouveau engagé pour la manche britannique du championnat de Formule 1, et comme l'année précédente, le handicap important de sa voiture se fait sentir à l'arrivée : il accuse quinze tours de retard sur le vainqueur, José Froilán González. Cette contre-performance est compensée par un meilleur tour en course lors du Grand Prix d'Écosse, quelque temps après.

En 1952, la réglementation change et les catégories F1 et F2 sont fusionnées. Joe modifie son Alta et y implante un moteur Bristol. Au volant de cette voiture qu'il a rebaptisée IRA (Irish Racing Automobile), il participe à plusieurs courses, mais jamais en championnat. Il termine troisième de l'Ulster Trophy en 1952, devant une concurrence plus relevée.

Il abandonne toutefois rapidement les courses de monoplace pour se consacrer aux voitures de sport, notamment à bord d'une Jaguar Type C. En 1955, il est victime d'un terrible accident à Oulton Park qui le blesse grièvement aux jambes. Le pilote irlandais abandonne alors sa carrière. Il se concentre ensuite sur les affaires et devient concessionnaire Ferrari en Irlande. On raconte même qu'après avoir couru épisodiquement sur une 750 Monza, il l'aurait vendue à Jaguar, qui s'en serait servi pour fabriquer une voiture performante.