Eliseo Salazar restera connu pour avoir reçu un coup de poing en pleine course de la part de Nelson Piquet en 1982.

Eliseo commence à courir dans de petites courses dans les années 70, termine champion chilien de voitures de salon en 1974, avant d'acquérir le titre de champion argentin de F4 l'année suivante et le titre de Formule Ford 1600 en 1978. En 1979, il part en Grande-Bretagne pour disputer le championnat britannique de Formule 3. Mais, au volant d'une monoplace bien moins performante que celle de ses adversaires, il ne peut espérer jouer la victoire. Cependant, Eliseo fait bonne impression et passe en 1980 au championnat Aurora F1 britannique de Formule 1. Au volant d'une Williams-Ford, il remporte la victoire à Silverstone et dans les deux courses disputées à Thruxton, pour finalement terminer vice-champion derrière Emilio de Villota. L'année suivante, il est engagé par March dans le championnat du monde de Formule 1.

Eliseo est donc le premier Chilien à participer au championnat du monde de F1. Cependant, la March 811 est une bien mauvaise voiture, et le début de saison se résume à cinq non-qualifications et un abandon après s'être qualifié à la 23e position sur le circuit d'Imola.

En milieu de saison, il est engagé grâce à ses sponsors chez Ensign pour remplacer Marc Surer. Avec cette voiture, il réussit à se qualifier et, sur le tracé de Zandvoort, il effectue une belle remontée jusqu'à la sixième place, marquant ainsi un point au championnat.

En 1982, il est recruté par l'équipe ATS, et encore une fois, c'est une saison décevante. Elle est néanmoins sauvée par une cinquième place sur le tracé d'Imola, mais aussi marquée par le Grand Prix d'Allemagne sur le circuit d'Hockenheim. Alors que Nelson Piquet, leader, vient de lui prendre un tour, Eliseo le heurte à l'arrière, les contraignant tous les deux à l'abandon. Le champion du monde en titre le prend très mal et lui assène un coup de poing devant les caméras !

En 1983, il n'y a que peu de volants disponibles, mais il rejoint tout de même l'écurie RAM March. Il parvient à terminer le Grand Prix du Brésil à la 15e place, puis il abandonne aux Etats-Unis. Il rate ensuite les qualifications lors des trois Grands Prix suivants et, à court d'argent, sa carrière en F1 prend fin.

Il retourne ensuite au Chili où il remporte le championnat de courses de côtes en 1984 et 1985. Il revient en Europe en 1986 pour disputer deux saisons de Formule 3000 avec quatre écuries différentes, réalisant sa meilleure performance avec une quatrième place à Birmingham. Il passe ensuite aux courses de voitures de sport en 1988, remportant la victoire aux 1 000 km du Japon sur une Spice-Ford Cosworth. Il dispute deux autres saisons avec cette voiture, puis ne change de constructeur que pour les 24 Heures du Mans, où il termine huitième en 1989 avec une Jaguar. En 1994, il réalise une belle saison en IMSA au volant d'une Ferrari 333SP, inscrivant à son palmarès trois victoires : à Lime Rock, Watkins Glen et sur l'Indianapolis Raceway Park. En 1995, il s'engage dans le championnat CART.

Avec une Lola engagée par Dick Simon, il a du mal à briller en qualifications, mais réussit à réaliser de belles remontées. Il termine quatrième des 500 Miles d'Indianapolis, à cinq secondes seulement de Jacques Villeneuve. Il court pour le Team Scandia, avant de passer à la série rivale du CART, l'IRL, avec une qualification en première ligne de l'Indy 500. En 1997, il se retrouve plus souvent aux avant-postes et réussit, en fin de saison, à remporter son unique victoire en IRL à Las Vegas. Après une saison 1998 avec Riley & Scott un peu décevante, il passe chez Nienhouse Motorsports, mais rate le podium à Atlanta. Il rejoint l'écurie Foyt à partir de 2000 et termine troisième de l'Indy 500. En 2001, il réalise un très bon départ avec une seconde place à Phoenix, suivie d'un podium à Homestead. En 2002, il est victime d'un gros accident. Il mettra quelques mois à s'en remettre.

Une fois remis, Eliseo Salazar est parti en ALMS en 2003, et a disputé des courses de rallye avec Hyundai.