Bob commence sa carrière en 1971, en Formule Ford, et en Formule 3. Il est victime d'un accident cette même année à Castle Combe pendant des essais lors duquel il se blesse au cou, ce qui l'éloigne des circuits un bon moment.

L'année suivante, on le retrouve en Formule 5000, chez Trojan. Alan McKechnie, un négociant en vin qui est son soutien depuis toujours, lui achète une Lola T332 avec laquelle Bob participe au championnat Rothmans, pour la saison 1974. Il remporte le championnat ainsi que le Grovewood Award.

Toutes ces bonnes prestations lui valent une place en Formule 1 l'année suivante, chez BRM. Malheureusement il est largement surpassé en qualification et ses performances en courses sont très moyennes, sa meilleure position à l'arrivée étant une neuvième place.

Il est cependant engagé la saison suivante par Colin Chapman qui l'avait remarqué avant sa saison chez BRM. Cependant, Evans signe un contrat de seulement trois courses, Chapman voulant voir ce qu'il vaut au volant d'une Lotus. Pour la première course de la saison 1976, il ne se qualifie que vingt-troisième et termine dixième grâce à aux abandons des pilotes placés devant lui. Lors du Grand Prix suivant, à Long Beach, il ne parvient pas à se qualifier. Lors de la course des champions, sa dernière course avec Lotus, il perd la quatrième place par la faute d'une panne d'essence. Evans est alors remplacé par Mario Andretti.

Sa dernière apparition en Formule 1 est au volant d'une Brabham de l'écurie Ram Racing, lors du Grand Prix de Grande Bretagne. Qualifié à la vingt-deuxième place, il abandonne suite à un problème de boîte de vitesses.

Hors championnat, il participe à la Course des Champions en 1977, avant de courir dans le Championnat Aurora, sur une Surtees TS19 en 1978.