Né à Waidhofen, Alexander a comme père un pilote de rallye dans les années 70, champion avec Audi.

Alex s'essaya d'abord dans le BMX, dont il deviendra champion, avant de passer au karting en 1989. D'entrée, il étonne en terminant vice-champion autrichien. Il passe au championnat Middle East l'année suivante, et termine 4ème. En 1991, il court en Formule Ford, et termine second des championnats autrichiens et européens. La réussite viendra la saison suivante, où il cumule les couronnes néo-zélandaise, allemande et autrichienne de la catégorie. Et en 1993, il passe à la Formule 3, en Autriche, dont il sort avec une seconde place au championnat, et en Allemagne. En 1994, Alex va tout simplement étonner tout le monde en remportant 3 épreuves et prenant le titre de vice-champion derrière Müller, mais devant Fontana et Ralf Schumacher. En revanche, la saison suivante sera moins brillante, pas de victoires.

Mais ses performances de la saison 1994 ne sont pas passée inaperçues pour l'écurie Joest, qui lui offre un volant dans le championnat ITC pour la saison 1996, ce qui lui permet également de courir sur une Porsche WSC95 les 24 heures du Mans, épreuve mythique que le pilote autrichien remporte en compagnie de Manuel Reuter et Davy Jones. Cette même année, il commence à effectuer des tests en Formule 1 avec l'écurie Benetton.

En 1997, il passe au championnat de FIA GT sur une Mercedes CLK-GTR avec Bernd Schneider comme coéquipier, il remportera une victoire à Donington, et monte deux autres fois sur le podium. Dans le même temps, Gerhard Berger est malade, un baquet est temporairement libre chez Benetton, et Flavio Briatore fait appel au pilote autrichien. Ce dernier se débrouille plutôt bien face à son coéquipier Alesi. Au GP de Grande-Bretagne, il termine en 3ème position, à une seconde seulement du français. Berger reprend ensuite son volant, mais il n'en faut pas plus à Alex pour gagner un volant de titulaire dans l'écurie pour 1998.

Tout au long de la saison, Alex ne réussira pas à monter de nouveau sur le podium, mais se classe 4ème à cinq reprises dans toute la saison. Il se montre le plus rapide sur un tour en Argentine, mais restera surtout la course monégasque, avec une belle bataille face à Michael Schumacher pour la 3ème place, mais une collision entre les deux pilotes mettra fin à cette belle course d'Alex. La deuxième partie de saison de l'équipe Benetton se passe mal, les monoplaces ne décollent pas du milieu de grille. Au final, Wurz s'est montré parfois opportuniste, il termine le championnat à la 8e place, 1 point devant son équipier Fisichella.

La saison 1999 sera plus délicate. La Benetton B199, annoncée comme étant la base du retour de Benetton au premier plan, n'est pas à la hauteur et Alex passera ses week-ends dans le ventre mou de peloton. Il ne rentrera dans les points qu'à deux reprises, à Monaco et lors de son GP national. Pire, cette saison-là, Fisichella semble avoir franchement le dessus sur lui...

La saison 2000 est encore pire. Wurz n'est plus que le fantôme du pilote prometteur qu'il était encore deux ans plus tôt. Alors que Fisichella se bat régulièrement pour entrer dans les points, il se démène en fond de plateau. En Allemagne, il se qualifie brillant septième, avant d'abandonner casse de la boîte de vitesse...Il devra attendre le chaotique GP d'Italie pour inscrire ses deux seuls points de la saison avec une chanceuse cinquième place.

Benetton engage Button pour la saison 2001, laissant Wurz sans volant. Mais en octobre, il signe un contrat de pilote essayeur pour la top team McLaren-Mercedes, poste qu'il occupera de longues années. En 2005, il remplace Juan Pablo Montoya pour la course de Saint-Marin et grâce à la disqualification des BAR, termine en 3ème position. C'est son second podium en F1, 8 ans après le premier ! A la fin de cette saison, Alexander rejoint l'écurie Williams-Cosworth comme troisième pilote.

Après une bonne saison 2006 en tant qu'essayeur, Frank Williams décide de le titulariser aux cotés de Nico Rosberg pour 2007. Wurz retrouve donc une place de titulaire en F1, après sept années de "placard".

Hélas, ce come-back se révèlera désastreux. Pourtant, la Williams-Toyota FW29 n'est pas une mauvaise voiture, mais Wurz va se faire atomiser par son jeune et brillant équipier. Ainsi, alors que Rosberg se qualifie régulièrement dans les dix premiers, Alex peine à dépasser la quinzième place. En course, il est absolument transparent. Pourtant, à deux reprises l'Autrichien va faire parler son expérience. D'abord à Montréal où dans un Grand Prix chaotique, il réussit à éviter les nombreux accidents pour terminer troisième et offrir ainsi son premier podium à Williams depuis deux ans. Enfin au Nürburgring où, avec des conditions météorologiques changeantes, il arrache une superbe quatrième place. Mais à part cela, le vide total.

Ainsi, ses chances de retrouver un volant de titulaire en 2008 étant nulles, Wurz déclare à l'issue de l'avant-dernière course en Chine qu'il prend sa retraite avec effet immédiat. Nakajima le remplace pour la dernière manche au Brésil.

Pourtant, en janvier 2008, Wurz revient sur sa décision et signe un contrat de pilote essayeur chez Honda pour la saison à venir.

Cette même année, il fait son grand retour au Mans, douze ans après sa victoire. Engagé sur une Peugeot 908 aux côtés de Pedro Lamy et Stéphane Sarrazin. Cet équipage très expérimenté signe la pôle position. Mais ces 24 heures seront finalement décevantes, puisque la voiture ne finit qu'au cinquième rang.

Honda se retire de la Formule 1 fin 2008, mais l'équipe est rachetée par Ross Brawn. Alexander garde ainsi son volant d'essayeur chez Brawn en 2009, un poste honorifique du fait de la suppression des essais privés. L'Autrichien prépare en revanche sa reconversion en étant nommé à la tête de Superfund, une équipe autrichienne espérant débuter en F1 en 2010. Cette candidature est rejetée en juin par la FIA et finit donc par avorter.

En Endurance, il poursuit l'aventure avec Peugeot. Le 14 juin il remporte pour la deuxième fois les 24 heures du Mans aux côtés de Marc Gené et David Brabham, devant une autre 908 conduite par le trio français Montagny-Bourdais-Sarrazin.

En 2010, Wurz se consacre exclusivement à l'Endurance avec Peugeot. En effet, l'équipe Brawn passe sous le contrôle de Mercedes qui remplace Wurz par Nick Heidfeld au poste de pilote de réserve. C'est donc la fin définitive de la carrière en Formule 1 de l'Autrichien. Il reste toutefois présent dans la discipline, puisqu'il est commissaire de course au GP de Chine le 18 avril.

En début d'année, il remporte une nouvelle victoire pour Peugeot, en remportant les 12 heures de Sebring en compagnie de Gené et Anthony Davidson. Au Mans, il vise une troisième victoire mais l'épreuve est une catastrophe pour la marque sochalienne, puisqu'aucune 908 n'est à l'arrivée.