Après de bons débuts en karting, il fait ses débuts en monoplace en Formule BMW Europe en 2009 chez Josef Kaufmann Racing. Il se montre immédiatement rapide et régulier, et termine troisième du championnat, avec une victoire à Silverstone. Il poursuit dans ce championnat en 2010 et remporte le titre après une longue bataille avec le Britannique Jack Harvey. En 2011, il participe aux championnats de Formule Renault 2.0, à l'Eurocup et au NEC. S'il ne termine que quatrième du NEC, derrière les pilotes de la filière Red Bull Daniil Kvyat et Carlos Sainz Jr. ainsi que le Belge Stoffel Vandoorne, il remporte en revanche brillamment l'Eurocup face à ces mêmes pilotes !

En 2012, il passe en Formule Renault 3.5, un championnat qui a révélé des pilotes comme Robert Kubica ou Daniel Ricciardo. Chez Fortec Motorsport, Robin se montre une nouvelle fois comme un prétendant au titre et concurrence fortement les favoris Jules Bianchi et Sam Bird. Au moment d'aborder la dernière course de la saison, il est même en tête du championnat, devant Bianchi ! Durant la course, les deux hommes se heurtent, Bianchi abandonne et le Néerlandais remporte le titre, bien qu'il soit responsable de l'accrochage et pénalisé pour sa manœuvre.

Avec trois titres en trois ans, Robin espère décrocher un volant en Formule 1, mais il ne trouve mieux qu'un poste de troisième pilote chez Sauber. Il participe également à quelques courses de GP2 et remporte la victoire à Barcelone.

En 2014, il devient pilote d'essais pour Caterham et participe à deux séances d'essais libres lors d'un Grand Prix. Mais en raison d'un manque de budget, il ne peut plus prétendre à un poste de titulaire.

L'année suivante, il poursuit sa carrière principalement dans deux disciplines majeures : la Formule E et les courses d'endurance GT et prototypes. En 2015, il commence comme pilote titulaire en Formule E chez Andretti Autosport. Dès sa première saison, il marque des points lors de chacune de ses quatre premières courses et monte sur le podium à Putrajaya. Il reste avec Andretti jusqu'en 2017, puis rejoint Envision Virgin Racing en 2018. C'est au sein de cette équipe qu'il réalise ses meilleurs résultats dans la discipline, avec quatre victoires, treize podiums et une quatrième place au classement général en 2019.

Parallèlement, il se consacre aux courses GT et d'endurance. En 2015, il rejoint l'écurie WRT et s'impose immédiatement : malgré un début de saison marqué par un accident lors des qualifications à Nogaro, il remporte plusieurs victoires, ce qui lui permet de devenir champion du Blancpain GT Series dès sa première année dans la catégorie. Il confirme en remportant la Sprint Cup en 2017, au terme d'une saison conclue sur un succès lors de la dernière manche.

En 2018, il remporte également les 12 Heures de Bathurst au volant d'une Audi du team WRT, ajoutant ainsi une victoire prestigieuse à son palmarès. Dès 2021, il entame une collaboration fructueuse avec WRT en LMP2 dans le championnat du monde d'endurance de la FIA. Dès cette première année, il s'impose dans sa catégorie lors des 24 Heures du Mans. L'année suivante, la saison d'Endurance commence fort avec des podiums et une victoire à Spa, mais un accident survenu en pleine nuit lors des 24 Heures du Mans met fin aux espoirs de doublé. Plus tard dans la saison, il remporte à nouveau une course à Fuji.

En 2023, il quitte l'écurie Envision en Formule E pour rejoindre Abt Sportsline. La saison est compliquée, marquée par un accident lors de la première course à Mexico qui lui cause une blessure au poignet et l'empêche de participer à plusieurs manches. Il revient en cours d'année, réalise une pole position sous la pluie à Berlin, mais termine la saison loin du podium. Il retourne ensuite chez Envision Racing pour la saison 2024.

Parallèlement, il participe également à d'autres compétitions d'endurance, comme les 24 Heures du Nürburgring, où il contribue, en 2022, à la victoire d'Audi. A partir de 2024, il rejoint le programme Hypercar de BMW Motorsport et retrouve l'équipe WRT, ainsi que la marque BMW qu'il avait représentée à ses débuts en Formule BMW Europe. Il achève ainsi une boucle après plus de quinze ans de carrière.

En 2025, il poursuit un double programme en Formule E avec Envision et en WEC avec BMW. En Formule E, il réalise une saison assez discrète, marquée par plusieurs arrivées dans les points, mais sans podium. A l'issue de l'exercice, Envision annonce son départ après six saisons cumulées avec l'équipe. En WEC, il obtient son meilleur résultat aux 6 Heures d'Imola, où il termine troisième. Aux 24 Heures du Mans, la BMW n°20 termine 17e.