Ayant fait pratiquement toute sa carrière au sein de l'équipe Gordini, Robert Manzon arrivait parfois à se débrouiller avec le matériel dont il disposait.

En 1947, Robert débute sa carrière automobile en participant à plusieurs courses de Formule 2 au volant de sa propre Cisitalia. En remportant les épreuves d'Angoulême et du Comminges, ainsi que quelques autres belles performances, il obtient un volant dans l'une des voitures d'Amédée Gordini. Il termine troisième lors du Grand Prix des Nations. À Angoulême, après avoir réalisé le tour le plus rapide en course, il mène la course dans le dernier tour quand sa mécanique l'oblige à l'abandon. La saison suivante, il termine deuxième à Angoulême et à Lausanne, mais remporte une belle victoire lors de l'épreuve d'endurance du Bol d'or à Montlhéry, au volant d'une Simca sport.

En 1950, le championnat du monde de F1 est créé. Après une deuxième place à Roubaix en F2, il peut disputer son premier Grand Prix à Monaco. Mais comme pour beaucoup de pilotes, son Grand Prix prend fin dès le premier tour, quand il est pris dans un carambolage provoqué par Giuseppe Farina. Robert rencontre plus de succès lors de son Grand Prix national, face aux puissantes Alfa Romeo : il réussit tout de même à obtenir la quatrième place. En parallèle, il participe à des courses de Formule 2 et remporte des victoires à Périgueux et au circuit du Mettet.

Sa saison 1951 est moins bonne : en F1, il ne parvient jamais à marquer des points, tandis qu'en F2, il l'emporte de nouveau au Mettet et se classe deuxième aux Sables d'Olonne, à Rouen et à Cadours. En 1952, Simca ne veut plus soutenir Gordini, qui fait désormais cavalier seul en F1. Les voitures commencent à se montrer plus compétitives, et Robert réussit ainsi à monter sur le podium au circuit de Spa-Francorchamps. Il termine également deuxième d'une course hors championnat à Marseille avec le prince Bira. Enfin, dans la catégorie des voitures de sport, Robert s'impose lors de la Coupe du Salon à Montlhéry.

La saison 1953 semble très bien débuter lors du Grand Prix d'Argentine, grâce à un magnifique pilotage. Robert parvient à se hisser à la deuxième position avant de perdre tous ses espoirs de briller quand une roue se détache de sa voiture. Après une cinquième place dans une autre course à Buenos Aires, il décide de quitter l'équipe Gordini pour rejoindre l'équipe Lancia en endurance.

En 1954, il est engagé dans l'écurie de Louis Rosier. Robert se retrouve au volant d'une Ferrari 625, et dès sa première course lors du Grand Prix de France, il parvient à terminer troisième, à un tour des deux Mercedes-Benz. Il termine également deuxième d'une course hors championnat à Bordeaux.

En 1955, il revient chez Gordini, mais ce sera une bien piètre saison au volant de la T16. Sa meilleure performance est une cinquième place à Bordeaux, tandis qu'en championnat, il ne termine aucune course. Il termine cependant troisième de la Targa Florio à la fin de la saison, au volant d'une Ferrari.

En 1956, la saison s'annonce plutôt bonne, avec une victoire lors du Grand Prix de Naples hors championnat. Cependant, il n'atteindra jamais de meilleur résultat par la suite. À la fin de la saison, il décide de se retirer de la compétition.