Peter Westbury commence sa carrière automobile par les compétitions de course de côte au Royaume-Uni au début des années 1960. Il se distingue par ses compétences techniques en concevant ses propres voitures sous le nom de Felday. En 1963, il remporte le championnat britannique de course de côte au volant d'une Felday-BRM à quatre roues motrices. Il réitère cette performance l'année suivante, en 1964, en remportant un second titre national consécutif au volant de la Ferguson P99 d'usine. Fort de cette notoriété, il oriente sa carrière vers les circuits de vitesse et participe au championnat britannique de Formule 3 à partir de 1965.

En 1967, il participe à des courses de F3 en Europe et remporte trois victoires : le Grand Prix des Frontières en Belgique, le Grand National au Danemark et le Trophée Auvergne en France. Il s'impose à nouveau au Grand Prix des Frontières en 1968 et remporte également la Coupe internationale de vitesse de Reims.

En 1969, il franchit un échelon en accédant à la Formule 2. Il fonde l'écurie FIRST Racing et engage une Brabham BT30. Il monte à plusieurs reprises sur le podium et marque des points de manière constante, ce qui lui permet de terminer cinquième du championnat d'Europe de Formule 2.

L'année 1970 lui offre son unique opportunité de participer au championnat du monde de Formule 1. A l'occasion du Grand Prix des Etats-Unis, disputé sur le circuit de Watkins Glen, l'écurie d'usine Yardley Team BRM lui confie le volant d'une troisième monoplace, une BRM P153 dotée d'un moteur V12. Confronté à un manque de préparation et à des problèmes de réglages lors des essais qualificatifs, il ne parvient pas à réaliser un temps suffisant pour se qualifier.

Il poursuit néanmoins sa saison en Formule 2, décrochant de nouvelles places d'honneur, puis dispute ses dernières compétitions professionnelles en 1971, avant de se retirer définitivement du sport automobile.