Paul Aron commence sa carrière en karting en Estonie, puis s'impose rapidement sur la scène européenne. En 2018, il remporte le championnat d'Europe CIK-FIA, ce qui attire l'attention de l'écurie Prema Powerteam, dirigée par son frère Ralf Aron. Il intègre cette structure en 2019 pour ses débuts en Formule 4, remportant deux victoires en Allemagne et deux autres en Italie, et se classant respectivement septième et troisième des championnats.

En 2020, il rejoint l'écurie ART Grand Prix en Formule Renault Eurocup. Malgré une deuxième place au Nürburgring, il termine onzième du championnat. L'année suivante, il revient chez Prema pour disputer le championnat de Formule Régionale Europe, où il monte sept fois sur le podium et termine troisième. En 2022, il s'impose comme l'un des pilotes les plus performants avec six victoires et sept pole positions, mais se contente de la troisième place du classement.

En 2023, il passe en Formule 3 FIA avec Prema Racing. Il remporte la course sprint en Autriche et termine troisième du championnat. Il participe également au Grand Prix de Macao, où il est victime d'un accident spectaculaire qui coupe sa voiture en deux, mais il s'en sort heureusement sans blessure grave. Fin 2023, il fait ses débuts en Formule 2 avec Trident sur le circuit de Yas Marina, puis rejoint Hitech pour une saison complète en 2024.

Il y signe une victoire au Qatar, quatre pole positions et huit podiums, et termine à nouveau troisième du championnat. Ce parcours convainc l'Alpine F1 Team de le nommer pilote de réserve pour 2025.

En juin 2025, un accord entre Alpine et Sauber lui permet de participer aux essais libres des Grands Prix de Grande-Bretagne et de Hongrie au volant de la Sauber C45. Ce prêt stratégique vise à lui offrir du temps de piste en F1 et une opportunité cruciale pour décrocher un baquet dans cette catégorie à moyen terme.