Leslie Johnson entame sa carrière de pilote automobile après la Seconde Guerre mondiale. Il se distingue d'abord en 1946 dans des courses de monoplaces, au volant de modèles tels que Delage, Talbot-Lago et ERA.

Au fil des ans, il combine les compétitions de Grand Prix et d'endurance. Il participe notamment à cinq éditions des 24 Heures du Mans, terminant troisième en 1952, à deux reprises aux 24 Heures de Spa, dont il remporte l'édition 1948 et à quatre reprises à la Mille Miglia (cinquième en 1950). Sa polyvalence s'exprime également à travers ses succès en rallyes et ses tentatives de records de vitesse. En 1947 et 1948, il participe à des Grands Prix, avec des voitures modifiées selon l'épreuve, retirant ou ajoutant des garde-boues pour passer de la configuration sport à la monoplace.

En 1950, il participe à sa seule course de Formule 1 du championnat du monde, lors du premier Grand Prix en Grande-Bretagne. Mais après s'être qualifié en douzième position, le compresseur de sa voiture tombe en panne dès le début de la course et il est contraint de s'arrêter après seulement deux tours.

Il réalise également des performances notables avec Jaguar, notamment en 1950, lorsqu'il établit un record du monde à Montlhéry : au volant d'une Jaguar XK120, il maintient une moyenne de plus de 170 km/h sur 24 heures, avec le jeune Stirling Moss, ce qui constitue la première fois qu'une voiture de série franchit la barre des 100 mph sur cette durée.

Malheureusement, des problèmes cardiaques l'ont contraint à se retirer de la compétition en 1954.