Plus petite que la 308B, le modèle 7 apparait pour la première fois lors des essais du Grand Prix d'Allemagne et couru pour la première fois lors d'une course Suisse, hors-championnat.
James Hunt arriva à marquer quelques points avec cette voiture, mais la voiture n'est pas très bonne et est difficile à mettre au point.
Quand Hesketh vendit sont écurie, Walter Wolf récupéra deux 308C, qui les fit courir pour l'écurie éponyme de Frank Williams, sous le nom de Wolf-Williams FW05, après avoir revu la suspension et le châssis.