Artem Markelov a débuté sa carrière en karting en 2006, puis est passé à la monoplace en 2011 dans le championnat allemand de Formel Masters, où il a remporté une victoire et a terminé quatrième de la saison. Il participe également à une manche du championnat de Formule 3 Euro Series la même année, puis se concentre sur le championnat d'Allemagne de Formule 3 en 2012, remportant deux victoires et terminant septième. En 2013, il est sacré vice-champion d'Allemagne de Formule 3, avec deux victoires et 21 podiums.

Il intègre ensuite les GP2 Series, l'antichambre de la Formule 1, avec l'équipe Russian Time de 2014 à 2016. Il y remporte sa première victoire en 2016, à Monaco, et termine dixième du championnat cette année-là. Lors de la saison 2017, les GP2 sont rebaptisés Formule 2 et il est vice-champion, derrière Charles Leclerc, avec cinq victoires, ce qui constitue sa meilleure performance en monoplace jusqu'alors.

En 2018, il poursuit en Formule 2 avec Russian Time et termine cinquième du championnat. Il est également nommé pilote d'essai et de développement chez Renault F1 et participe à des essais libres au Grand Prix de Russie ainsi qu'à des essais privés avec l'équipe Renault.

En octobre, son père, un homme d'affaires russe qui a financé sa carrière, est arrêté à Sotchi dans le cadre d'une affaire de corruption impliquant des pots-de-vin.

En 2019, sans volant en Formule 1, il s'engage en Super Formula au Japon, une discipline différente de la monoplace européenne, mais il retourne ponctuellement en Formule 2 pour remplacer d'autres pilotes chez MP Motorsport, puis chez Arden.

En 2020, il court en Formule 2 avec l'équipe HWA Racelab, qui a remplacé Arden, mais il n'obtient pas de résultats marquants cette année-là et met alors un terme à sa carrière.