Alberto Uria entame sa carrière de pilote dans les compétitions locales d'Uruguay et d'Argentine. Il se forge une solide réputation au volant de monoplaces dans la catégorie « Mecánica Nacional », une série très populaire en Amérique du Sud qui permet aux pilotes de développer leurs compétences techniques et leur pilotage sur des circuits exigeants, avant de tenter leur chance au niveau international.

janvier 1955, il participe, à titre privé, au Grand Prix d'Argentine, qui se tient à proximité de ses bases logistiques. Au volant d'une Maserati A6GCM, il se qualifie en 21e position, mais est contraint à l'abandon au 22e tour à cause d'un problème de pression d'essence. Lors du Grand Prix de Buenos Aires, disputé hors championnat, il se classe 14e.

Il renouvelle l'expérience l'année suivante, toujours en tant qu'engagé privé sur une Maserati. Après avoir pris le départ, Uria cède sa place à mi-course à son compatriote, Oscar González. Le duo parvient à rallier l'arrivée en sixième position, à la porte des points.

Après cette course de 1956, Alberto Uria met un terme à ses engagements en monoplace de haut niveau et se retire de la compétition active.