Alberto Crespo commence sa carrière de pilote automobile en Argentine, où il se distingue principalement dans les compétitions routières nationales, bien avant d'apparaître brièvement sur la scène internationale.

En 1952, il tente l'aventure européenne et participe à plusieurs épreuves de Formule 1 hors championnat. Il se classe notamment quatrième du Grand Prix d'Albi au volant d'une Talbot-Lago et sixième du Grand Prix de La Baule avec une Maserati. Il participe ensuite au Grand Prix d'Italie de Formule 1 avec une Maserati inscrite par l'écurie d'Enrico Platé. Lors des essais qualificatifs, il réalise le 26e temps sur 35 participants, mais n'est pas qualifié pour la course, car seuls les 24 premiers sont retenus.

On le revoit en 1953 dans son pays natal, lors du Grand Prix de Buenos Aires. Cette fois, il franchit la ligne d'arrivée en onzième position, au volant d'une Alfa Romeo. Peu après sa retraite des circuits, il s'implique dans l'administration du sport automobile argentin, participant à l'organisation et à la structuration de la discipline dans son pays, souvent à titre bénévole, témoignant ainsi de sa passion durable pour ce milieu.